[책] 수학이 필요한 순간 - 김민형

수학이란 무엇인가요? 수학은 왜 필요한가요? 수학은 언제 활용될 수 있나요?를 잘 적어 놓았다. 

고전 과학에서부터 수학은 기본이었다. 데카르트, 뉴턴의 고전 과학부터 상대성 이론의 아인슈타인에 이르기까지 수학이 들어가지 않은 적이 없다. 고전은 질량과 운동에 의한 것을 기본으로 하는데 이때 현대 물리학과 다른 점이 발생하게 된다는 것이다. 질량도, 운동도 모두 다 시간이라는 것이 들어가게 되면서부터 상대적으로 변하게 되는 그런 성질(?), 양자 역학도 관찰되는 순간에 속도와 위치를 알 수 있을 뿐이라는 상대적 관점이 되는데 현대 물리는 절대적인 것이 아닌 상대적인 성질이 '기본'이 되는 것 같다. 

확률은 17세기에는 지적인 사람들만 인정하고 일반적인 사람들에게는 거부당했다고 하는데, 현재는 확률이 기본이다 (뉴럴 네트워크도, 섀논에 의한 정보 이론도 다 확률이 기본이므로) 

확률 관련해서는 사회적 선택 이론에 대해서 적용한 것이 흥미롭다. 선거제도에 기반하여 어떤 사회적 선택이 현명한가? 어떤 것이 나은 것인가(이걸 선택할 수 있나 모르겠지만 각자의 단점이 존재하는 방식이다  

중매쟁이가 흥행하는 방법을 위한 확률 예제도 좀 재미난 것 같다. 어떻게 커플을 맺어줘야 가장 깨지는 확률이 낮을까? 에 대해서 상대적으로 덜 좋아하더라도 너무 극한으로 싫어해서 깨지지 않는 경우를 선택해야 하기 때문에 경우의 수(커플이 많아져서)가 많아지면 결국 이 사회적 선택이라는 것도 매우 애매하게 된다. 

마지막 6강에서는 위상 수학에 대해서 설명하는데 내가 가장 흥미로워하는 부분이다. 우리는 기하학(2차원이나 3차원정도에서) 이나 일반적으로 계산이 가능한 내용 (물론 허수도 있었지만)은 고등학교 때까지 엄청나게 열심히 문제를 푸는 것으로 이해하는 척했다. 위상 수학이라는 독특한 분야를 보게 되면 이것은 정말 수학이란 게 이렇게 아름다울 일인가? 어떻게 이 평면의 내용들을 모양을 만들어낼 수 있는 것인지 정말 너무 신기하다. 아마 그림 그리는 것(못생긴 그림이지만)을 좋아해서 그럴지도 모르겠다. 아래 글은 책에서 인용문을 가지고 왔다. 

위상수학이란 모양을 공부하는 수학의 분야 중에서 가장 근본입니다. 점, 선, 삼각면 등 간단한 형태들을 이어 붙여서 만들 수 있는 모양들을 예와 같이 기호화하는 것이지요. 상당히 복자한 모양도 선과 점을 이용하여 그릴 수 있다 (p.223)
위상 수학은 보통 거시적인 기하라고 설명하빈다. 정밀한 기하는 무시하고, 크게 보았을 때 모양이 어떻게 단순한 형태로 조립되어 있는지가 기호로 저장된다는 뜻입니다. 그런데 놀라운 것은 그런 단순한 정보만 가지고도 원래 모양에 대해서 이야기할 수 있는 바가 상당히 많다는 것입니다. 
예를 하나 들어보지요. 18세기 수학자 오일러는 점, 선, 삼각면으로 이루어진 임의의 물체가 있으면 다음과 같은 양이 중요하다는 발견을 했습니다. 
면의 갯수 - 선의 개수 + 점의 개수 (p.224) 

오일러의 수에서 중요한 것은 특정 모양의 오일러 수가 위상에만 의존한다는 사실입니다. 그러니깐 위상이 같은 두 모양은 같은 오일러 수를 가지게 됩니다. 
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다시 이야기하자면 위상은 모양의 거시적인 구조만을 기억하는 개념인 겁니다. 그런데 토끼와 도넛의 예에서 보았듯이 오일러는 거시적 정보를 기호화하고 '계산을 해서 모양을 구분하는 방법'을 발견한 것입니다. 이 개념이 기하학, 물리학, 우주학 등에서 점점 더 중요해지고 있습니다. 현대의 위상수학에서는 오일러 수 보다 훨씬 강력한 '모양 계산법'을 약 150년에 걸쳐서 개발해왔습니다. (p.233-234) 

기하학에서 일어났던 혁명적인 사건이 세가지가 있습니다. 
1) 17세기 페르마와 데카르트 
기하를 대수로 바꾸는 방정식 x^2 + y^2 = 1 (원의 방정식 , 기하 -> 대수) 
2) 두번재는 리만의 내면 기하학 --> 아인슈타인이 상대성 이론에 필요했던 것  
3) 알렉산더 그로탕티에크의 대수로부터 기하를 발견한 사람 
- '임의의 수체계가 주어져도 그것이 어떤 기하를 표현한다'

수학이 필요한 순간 p.223